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por

Antonio García Francisco
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PARADOJAS (I)


Traía yo intenciones, amable lector, de continuar torturándole a usted con las adivinanzas, como en el número anterior hice, pero cuando me encontraba seleccionando algunas entre las que podríamos denominar adivinanzas lógicas me he dado cuenta de que estaba adentrándome en el campo de las paradojas. El humor y la lógica que se entremezclan. ¿Existe relación entre lo que llamamos adivinanzas, enigmas, paradojas y lo que llamamos “humor a palo seco”? Yo no lo sé, no es una ciencia exacta, ni tan siquiera es una ciencia, pero son campos tan amplios que se superponen unos con otros, como las ondas de un estanque de aguas tranquilas en el que arrojamos dos piedras a la vez. Recordemos la solución humorística que el notario daba al problema del reparto de mulas hace unos días. Y es que a veces hay que tomarse con humor la respuesta o dejar la pregunta en el aire, haciendo un zumo de neuronas hasta que damos con la solución o lo abandonamos por imposible.

—¿Abandonar, dice usted, por imposibilidad de hallar la solución?

—Sí, amable lector, abandonar porque no encontramos una solución válida, o porque no exista. Eso es lo que ocurre con las paradojas.

—¿Qué no exista solución? ¡Eso no puede ser! ¿Qué es una paradoja?

—¡Naturalmente que puede ser! Una paradoja es una situación tan sumamente absurda que parece verdadera. Y si la pensamos fríamente, vemos que es imposible. ¿Quiere usted un ejemplo?

—¡Venga el ejemplo y veamos si tiene solución o no.

—Pues ahí va: es una historia que trata acerca de una caravana que cruza el desierto del Sahara. En ella viajan varias personas, pero solamente nos interesan tres: A, B y C. A odia a C y decide asesinarle envenenando el agua de su cantimplora (por supuesto, cada uno bebe única y exclusivamente de su cantimplora). Pero resulta que B también odia a C y, sin saber que el agua de C ya está envenenada, le hace un agujerito en la cantimplora para que el agua se vaya perdiendo lentamente. Como resultado de ello, unos días más tarde C fallece de sed. ¿Quién es el asesino?

—¿Eso es una paradoja imposible de resolver? El asesino fue B ya que C nunca llegó a beber el veneno que le puso A, de manera que se habría muerto aunque A no le hubiera envenenado el agua.

—¿Y se le ha ocurrido a usted pensar que el verdadero asesino fue A, ya que lo que hiciera B en nada afectaría al resultado? Una vez que estaba envenenada el agua, C estaba envenenado, puesto que habría muerto sin necesidad de que B le hiciera el agujerito en la cantimplora. Además, C murió al cabo de unos días, cabe pensar que algo bebería del agua emponzoñada.

—¿Entonces?

—Pues eso, entonces... ahí se queda el enigma. A propósito de esto, le voy a contar a usted, paciente lector, la historia del leñador vasco que emigró a Canadá en busca de trabajo. Andando, andando llegó a un campamento de leñadores y solicitó trabajar; el capataz le dijo: “no sé si esto será un buen trabajo para ti, pues se trata de talar árboles”. Sabido es cómo son los vascos y el de nuestra historia no había de ser menos, así que tranquilamente le contestó: “aibalaostitú, pues, eso es precisamente lo que yo mejor sé hacer”. “Vale, coge el hacha y corta ese árbol, que yo cronometro lo que tardas”. Entonces, nuestro hombre se cala la chapela hasta las orejas, coge el hacha, se encamina al árbol, le da un hachazo y lo abate de ese único golpe. El capataz, asombrado, le dijo: “No está mal, pero vamos a ver ese otro más grande”. El vasco se fue hacia él, le dio dos hachazos y sin movérsele la chapela, el árbol cayó al suelo. Asustado, el capataz le pregunta: “Pero... ¿dónde has aprendido a talar árboles?” A lo que nuestro hombre responde modestamente: “Aibalaostitú, pues, aprendí cortando muchísimos en la selva del Sahara” El capataz se quedó pensando y le corrigió: “querrás decir el desierto del Sahara, y allí no hay árboles”, a lo que contestó el vasco con la modestia que les caracteriza a todos: “bueno, ahora no”.

—Con usted no se puede hablar en serio. Enseguida se va por las ramas y sale con algún chascarrillo más antiguo y más inútil que las cartas de navegación de Noé.

—Entonces ¿desea usted, amable lector, que siga con el tema inicial y le ponga una paradoja que le haga pensar hasta abandonar la esperanza de encontrar una solución?

—No creo que eso sea posible.

—De acuerdo, aquí le dejo cuatro paradojas. Píenselas y déme su solución... si es que puede. Léalas con atención, medítelas, piense, diviértase con ellas. Por mi parte, al final haré algunas reflexiones sobre ellas, pero créame, lo verdaderamente bonito es pensarlas uno mismo. Y recuerde: son situaciones tan sumamente absurdas que parecen auténticas.


LA PARADOJA DE LA FORTALEZA Y LA BOMBA

Ésta es una de las paradojas más sencillas y más comunes que existen. Cuando yo era un niño, mis amigos y yo pasábamos horas dándole vueltas, sin llegar a conclusiones definitivas. No lo veíamos muy claro.

¿Qué pasaría si una bomba irresistible, todopoderosa, cayera sobre una fortaleza absolutamente indestructible?. Por una bomba irresistible hay que entender una bomba que siempre da en el blanco y por todopoderosa hay que entender que destruye absolutamente todo. Por una fortaleza indestructible hay que entender una fortificación militar que nada ni nadie pueden destruir. Así que, dígame usted: ¿qué pasaría si una bomba que destruye absolutamente todo cayera sobre una construcción absolutamente imposible de destruir?

LA PARADOJA DE PROTÁGORAS


Esta es una de las paradojas más antiguas, citada por autores clásicos. Yo la escuché por primera vez en mi época de estudiante, en la Facultad de Derecho, a modo de ejemplo de la dificultad de resolver algunos casos. Más o menos dice así:

Protágoras, profesor de leyes en la antigua Grecia, aceptó a un alumno pobre, pero con mucho talento, y convino con él en impartirle enseñanza sin cobrarle, a condición de que cuando el estudiante acabara sus estudios y ganara su primer caso en un Tribunal, le pagaría a Protágoras una cierta cantidad. El problema surgió cuando, acabados los estudios, el alumno no aceptaba ningún caso. Al cabo de unos años de sufrir esta situación, Protágoras demandó al ex-alumno en reclamación de la suma adeudada. Estos fueron los alegatos de las partes:

Estudiante: Si yo gano el caso, entonces, por definición, no tengo que pagar, pues el juez pondrá sentencia en el sentido de que no pague. Si lo pierdo, entonces no habré ganado mi primer caso, y yo no he contraído la obligación de pagar a Protágoras si no es hasta después de haber ganado mi primer caso. Así, pues, tanto si gano como si pierdo este caso, no tengo que pagar.

Protágoras: Si él pierde el pleito, entonces, por definición, tiene que pagarme (después de todo, eso es lo que se ventila en este caso). Si lo gana, entonces habrá ganado su primer caso, y por tanto tiene que pagarme. Así pues, tanto si él gana como si pierde, me tiene que pagar.

¿La solución? ¡Ja! ¡Menuda la papeleta que le cayó a Su Señoría...! ¿Es usted capaz de encontrarla, paciente lector?


LA PARADOJA DE EPIMÉNIDES


La paradoja de Epiménides, también llamada “paradoja del mentiroso”, es la base de una gran familia de paradojas conocidas como “paradojas del mentiroso”. Aquí la traigo; si alguna vez tenemos tiempo, podemos dedicar un número a desarrollar un poco este tema.

El cretense Epiménides, tenido por sabio, dijo en una ocasión: “Todos los cretenses son unos mentirosos”. Curiosa la afirmación teniendo en cuenta que la hace un cretense (un embustero). Si todos los cretenses son embusteros y quien lo dice es un cretense, está diciendo una mentira, con lo que quiere decir que todos dicen la verdad... ¡qué lío!

Pero esto no es en sí una paradoja, pues podemos decir que el mentiroso es Epiménides, dado que algún cretense puede que sea veraz. Si Epiménides fuera el único cretense, la cosa cambiaría y sería una verdadera paradoja: la paradoja del mentiroso, que más o menos viene a decir “YO ESTOY MINTIENDO AHORA”. Si estoy mintiendo, es falso porque estoy diciendo la verdad, pero si estoy mintiendo, en realidad estoy diciendo la verdad. En definitiva, la paradoja se produce al decir: ESTA ORACIÓN ES FALSA. Si la oración es falsa, en realidad es verdadera; si es verdadera, indudablemente es falsa.


LA PARADOJA DE LOS EJÉRCITOS


Esta paradoja la he discutido con mis amigos durante años. Durante dieciocho años, desde que tuvimos la mala suerte de conocerla. Ahí va.

En la Primera Guerra Mundial, un ejército (digamos A) está frente a otro ejército enemigo muy superior (digamos Z). Al ejército A le llegan refuerzos (digamos B), pero A y B no pueden unirse porque les separa una colina que no pueden franquear para fundirse en uno solo. Si ambas fracciones de ejército (A + B) atacaran al enemigo (Z) conjuntamente, saldrán victoriosas sin lugar a dudas. Pero si lo hacen por separado, saben que serán aniquiladas sin duda alguna.

El general que manda la fracción A envía una paloma mensajera al general que manda la fracción B con un mensaje que dice: “Atacaremos mañana al amanecer. Para evitar el fracaso, confírmame con otra paloma mensajera que has recibido este mensaje”. El general que manda la fracción B lo recibe, lo lee y envía el mensaje siguiente: “Recibido tu mensaje. Atacaremos al amanecer. Pero para estar seguro de que tú has recibido mi confirmación, confírmame con otro mensaje que te ha llegado, no sea que ataque yo en solitario”. Entonces, el general de la fracción A manda otro mensaje confirmatorio, pero para estar seguro de que lo han recibido, pide confirmación, la cual le da el general de B, pero pidiendo confirmación de la confirmación... y así indefinidamente. ¿Se llegarán a poner de acuerdo alguna vez?

En fin, paciente lector, que aquí hay tema para buscar soluciones... o para abandonar sin encontrarlas.


Consideraciones acerca de estas paradojas

(que no soluciones):


La paradoja de la fortaleza y la bomba nos presenta unas condiciones que desde el punto de vista de la lógica son contradictorias. Es por definición una situación absurda. Es lógicamente imposible que puedan existir a la vez una bomba que todo lo destruya y una fortaleza imposible de destruir. La existencia de una fortaleza indestructible no es lógicamente contradictoria en sí misma, como tampoco lo es en sí misma la existencia de una bomba que todo lo destruya. Pero afirmar que ambas existen a la vez, es contradictorio. Sería como decir: “Pedro y Antonio están juntos. Pedro es más alto que Antonio, pero Antonio es más alto que Pedro. ¿Cómo se explica eso?”. Diríamos sin dudar: “o mientes o te equivocas”.

La paradoja de Protágoras es un ejemplo que nos puso el profesor de la asignatura denominada “Derecho Procesal”. No viene a cuento explicar el contenido de esta materia. Discutimos el caso durante todo el curso, aportando “soluciones” que en realidad eran verdaderas barbaridades. Este dilema no tiene una respuesta única, se lo puedo asegurar, pero la mejor solución la oí unos años después de terminar los estudios y me vino de la mano de un buen amigo que ejercía la profesión de abogado desde hacía varios años y que hoy en día es juez de Primera Instancia e Instrucción en Madrid. Es esta:

“El juez debería fallar el caso a favor del estudiante; éste no tendría que pagar, puesto que aún no había ganado su primer caso, dado que no había asistido a ninguno. Pero una vez terminado el juicio, ENTONCES Y EN ESTE MOMENTO el estudiante ya ha ganado un caso y, por definición debe el dinero a Protágoras, porque acaba de ganar su primer caso. Ahora Protágoras puede volver a litigar y demandar por segunda vez al estudiante. Esta vez, el juez tiene que dar la razón a Protágoras, puesto que el estudiante ya ha ganado su primer caso y, por definición, tiene que pagar la cantidad estipulada”.

Gracias, Luis Aurelio.

La paradoja de Epiménides o del mentiroso es algo más complicada. Si tenemos una frase del tipo básico: “esta oración es falsa”, todo depende de a qué cosa se refiera esa falsedad. Si fuera del tipo: “esta oración es verdadera”, también depende de a qué cosa se refiera esa verdad. La paradoja del mentiroso estriba fundamentalmente en que se enuncia por medio de oraciones no fundadas, o mejor dicho, no-bien-fundadas. Si una oración dice: “esta oración tiene cinco palabras”, sabemos inequívocamente que es cierto, es una oración bien-fundada y sabemos de qué está hablando. Y si dice “esta oración tiene ocho palabras”, sabemos que es falsa, pero también es una oración bien-fundada porque sabemos de qué habla. Para entender mejor las oraciones bien-fundadas y las no-bien-fundadas, podemos complicar un poco más la cosa con dos variantes de la paradoja.

1.ª variante: en una tarjeta está escrita esta frase: “LA ORACIÓN ESCRITA AL DORSO ES VERDADERA”. Damos la vuelta a la tarjeta y leemos: “LA ORACIÓN ESCRITA AL DORSO ES FALSA” (Paradoja de la tarjeta). Si la primera oración es verdadera, la segunda es verdadera (porque la primera lo dice) y, por lo tanto, la primera es falsa (porque lo dice la segunda). Si la primera es falsa, la segunda es también falsa y, por tanto, la primera no es falsa, sino verdadera. En conclusión, la primera oración es verdadera si, y solamente si es falsa, lo cual es imposible. ¿Por qué? Pues porque son oraciones no-bien-fundadas.

2.ª variante: En una tarjeta está escrito:

1.- ESTA ORACIÓN CONTIENE CINCO PALABRAS.

2.- ESTA ORACIÓN CONTIENE NUEVE PALABRAS.

3.- UNA DE LAS ORACIONES DE ESTA TARJETA ES VERDADERA, Y SOLAMENTE UNA.

La primera es verdadera: está bien-fundada.

La segunda es falsa: está bien-fundada también.

La tercera es la paradójica: si la 3 es verdadera, hay dos verdaderas: la 1 y la 3, lo cual es contrario a lo que dice la 3, y por tanto, la 3 es falsa. Pero por otro lado, si la oración 3 es falsa, entonces la 1 es la única verdadera, con lo que estamos dando la razón a la oración 3. Así, la oración 3 es verdadera si y solamente si es falsa. Lo cual nos lleva a concluir que es una oración no-bien-fundada.

Lo siento, no sé explicarlo mejor.

La paradoja de los ejércitos no deja de atormentarme. Sólo se me ocurre pensar que los generales no eligieron el método adecuado, que su protocolo es equivocado. Creo que, dado que están a ambos lados de una colina, el general de la fracción A debió de mandar un mensaje del tipo: “atacaremos conjuntamente al amanecer. Si recibes este mensaje, dispara una serie de un cañonazo – dos cañonazos – tres cañonazos. Para confirmarte que los he oído, dispararé una serie de tres cañonazos – dos cañonazos – un cañonazo. Estamos cerca y los disparos se oirán en ambos campamentos.” En definitiva, los protocolos de los generales con las palomas no son bien-fundados y se prolongarán hasta el infinito. Soluciones he oído muchas, pero creo que esta es la mejor de todas.

Paradojas,... situaciones absurdas... sofismas... ¿saben lo que son los sofismas? ¿quiénes eran los sofistas? Eran unos filósofos griegos de la denominada época de los presocráticos que decían como los matemáticos borrachos: “puedo demostrarlo todo”. Platón (no era un sofista) nos cuenta que Sócrates narraba las hazañas dialécticas de los hermanos sofistas Eutidemo y Dionisodoro, y que la principal fue cuando Dionisodoro demostró que el padre de Ctesipo, un alumno torpe, era un perro, que Ctesipo era a su vez un perro y que sus hermanos eran unos cachorros de perro.

Pero eso se queda para otro día.

Saludos cordiales,




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