Una bonita paradoja: el hotel infinito

por

Antonio García Francisco
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Comencemos por el principio. Les debo las soluciones del número anterior y aquí las traigo. Realmente no son muy difíciles, excepto una, la que yo denominaba «guinda envenenada» que me confieso incapaz de resolver. Pero no adelantemos acontecimientos.

Sencillo es el problema de las patas de los bichos que se entretuvo en cazar el tierno infante del primer problema, más bien entretenimiento, propuesto.

Para llegar a la solución aporté una pista: las arañas tienen 8 patas y los escarabajos tienen 6.

Partiendo de esta base, vamos a hacer una falsa posición. «Falsa posición» es el nombre que en Matemáticas se da a lo que comúnmente denominamos «la cuenta de la vieja».

Supongamos que en la lata de tomate que servía de provisional centro de reclusión de los pobres bichos solamente hubiera sólo escarabajos. En este caso, el número de patas sería 6 x 8 = 48, seis menos de las que se exigen en el problema.

Reemplacemos un escarabajo por una araña. El número de patas aumentará en 2, puesto que la araña no tiene 6, sino 8 patas. Está claro que si hacemos esta operación 3 veces consecutivas, el número de patas llegará a ser 54.

Pero, entonces, de los 8 escarabajos quedarán sólo 5, los demás serán arañas. Así, pues, en la caja había 5 escarabajos y 3 arañas. Hagamos la comprobación: Los 5 escarabajos suman un total de 30 patas; las tres arañas, 24, por tanto, 30 + 24 = 54, como exigen las condiciones planteadas en el problema.

Este problema puede resolverse también de otro modo. Supongamos que en la caja hubiera solamente arañas. Entonces, el número de patas sería 8 x 8 = 64, o sea diez más de las indicadas en el problema. Si reemplazamos una araña por un escarabajo, el número de patas disminuirá en 2. Se necesita, por tanto, hacer 5 cambios semejantes para que el número de patas llegue a ser el requerido, 54. En otras palabras, de las 8 arañas hay que dejar sólo 3 y las restantes reemplazarlas por escarabajos.

El problema de las tres prendas también se puede resolver sin acudir a establecer un sistema de ecuaciones. Si en lugar de la chaqueta, el sombrero y los zapatos, el hombre de nuestro problema hubiera comprado solamente dos pares de zapatos, en vez de 140 euros habría pagado tanto menos cuanto más baratos cuestan los zapatos que la chaqueta y el sombrero juntos, o sea, 120 euros menos. Por tanto, los dos pares de zapatos costarían 140 - 120 = 20 euros.

Dicho de otra manera: si compra dos pares de zapatos, pagará el precio de los dos pares, sea el que sea, pero en realidad los 140 euros totales menos los 120 euros que llevan de demasía el lote formado por la chaqueta y el sombrero, pues el precio del primer par es igual al del segundo sin recargos adicionales. Hemos sustituido el lote chaqueta más sombrero por el lote par de zapatos, con lo que tendríamos que si ha pagado 140 euros, pero que el primer par no cuesta 120 euros más que el segundo, los dos pares valen 140 - 120 = 20 euros.

Ahora ya sabemos que el chaqueta y el sombrero juntos valían 140 euros del total de la compra - 10 euros de un par de zapatos = 130 euros, y además, que la chaqueta costaba 90 euros más cara que el sombrero. Razonemos como lo hemos hecho antes: en lugar de la chaqueta y el sombrero, supongamos que ese señor comprara dos sombreros. Habría pagado, no 130 euros, sino esos 130 euros y 90 euros menos. Esto significa que los dos sombreros costaban 130 - 90 = 40 euros; de donde resulta que un sombrero valía 20 euros.

Por consiguiente, el precio de las tres prendas fue: los zapatos, 10 euros; el sombrero, 20 euros, y la chaqueta, 110 euros.

El problema de las cestas con huevos es algo más sencillo. Cuenta de la vieja pura y dura.

Veamos de nuevo el dibujo:


El vendedor se refería a la cesta con 29 huevos. En las cestas con los números 23, 12 y 5 había huevos de gallina; los de pato se hallaban en las cestas designadas con el 14 y el 6.

Hagamos la comprobación. Total de huevos de gallina que quedaron: 23 + 12 + 5 = 40. De pato 14 + 6 = 20.

De gallina había el doble que de pato, problema resuelto.

Regalos y finanzas no es un problema de matemáticas, sino más bien de pensamiento lateral. La clave reside en que uno de los padres es hijo del otro. En total eran, no cuatro, sino tres personas: abuelo, hijo y nieto. El abuelo dio al hijo 150 euros y éste, de ese dinero, entregó al nieto (o sea, a su hijo) 100 euros, con lo cual los ahorros del hijo aumentaron, por consiguiente, sólo en 50 euros...

Ida y vuelta: sin comentarios. Si no lo ha resuelto es porque no lo ha leído.

Y ahora, la guinda, la otra cuestión de huevos. Confieso que he sido incapaz de resolverlo, y por eso he decidido traer el texto íntegro de donde procede. Es un bonito rompecabezas matemático del poeta ruso Benediktoff y está formulado en forma de artículo. Éste en concreto:



Una comadre tenía para vender nueve decenas de huevos. Envió al mercado a sus tres, hijas, entregando a la mayor y más lista de ellas una decena; a la segunda, tres decenas, y a la tercera, la menor, cincuenta huevos, y les dijo:

Poneos previamente de acuerdo y fijad el precio a que debéis vender los huevos, y no os volváis atrás de lo convenido. Manteneos firmes las tres en lo tocante al precio; pero confío en que mi hija mayor, gracias a su sagacidad, aun ateniéndose al acuerdo de vender todas al mismo precio, sacará tanto por su decena como la segunda por sus tres decenas, y al mismo tiempo, aleccionará a la segunda hermana sobre cómo vender las tres decenas por el mismo precio que la menor los cincuenta huevos. El producto de la venta y el precio deben ser los mismos para las tres. Quiero que vendáis todos los huevos, de modo que saquemos, en números redondos, 10 kopeks, como mínimo, por cada decena y no menos de 90 kopeks por las nueve decenas.

La tarea era complicada. Las hijas, camino del mercado, comenzaron a consultarse una a la otra. La segunda y la tercera recurrieron al ingenio de la mayor, pidiéndole consejo. Ésta, después de pensar el asunto, dijo:

—Hermanas, vamos a vender los huevos estableciendo el precio, no por docenas, como veníamos haciendo hasta ahora, sino por septenas y ese precio lo mantendremos firmemente como nos indicó nuestra madre. ¡No rebajéis ni un kopek el precio convenido! Por la primera septena pediremos 3 kopeks, ¿de acuerdo?

—¡Tan barato! —exclamó la segunda.

—Sí, pero en cambio —contestó la mayor—, subiremos el precio para los huevos sueltos que quedan en las cestas después de vender todas las septenas posibles. Me he enterado de que no habrá en el mercado más vendedoras de huevos que nosotras tres. No habrá, por tanto, competencia en el precio. Es sabido que cuando la mercancía está terminándose y hay demanda, los precios suben. Con los huevos restantes recuperaremos las pérdidas.

—¿Y qué precio vamos a pedir por los restantes? —preguntó la pequeña.

—Nueve kopeks por cada huevo, y sólo este precio. Al que le hagan mucha falta huevos los pagará, no te preocupes.

—¡Pero es muy caro! —repuso la segunda hermana.

—¿Y qué? —respondió la mayor—; los primeros huevos, vendidos por septenas, son baratos. Lo uno compensará a lo otro.

Llegaron al mercado y cada una de las hermanas se sentó en sitio diferente. Comenzaron a vender. Los compradores, contentos con la baratura, lanzáronse al puesto de la hermana menor, que tenía cincuenta huevos, y se los compraron en un abrir y cerrar de ojos. Vendió siete septenas, y obtuvo 21 kopeks. En la cesta le quedó un huevo. La segunda, que tenía tres decenas, vendió 28 huevos, o sea, 4 septenas, y le quedaron 2 huevos. Sacó de beneficio 12 kopeks. La mayor vendió una septena, sacó 3 kopeks y le quedaron 3 huevos.

Inesperadamente se presentó en el mercado una cocinera, enviada por su ama a comprar sin falta, costara lo que costara, una docena de huevos. Para pasar unos días con la familia, habían llegado los hijos de la señora, que gustaban extraordinariamente de los huevos fritos. La cocinera corría de un lado para otro, pero los huevos ya se habían terminado. A las tres únicas vendedoras que había en el mercado les quedaban sólo 6 huevos: a una, un huevo, a otra, dos, y a la tercera, tres.

—¡Vengan acá esos huevos! —dijo.

La cocinera se acercó primero a la que tenía 3 huevos, la hermana mayor, que como sabemos había vendido una septena por 3 kopeks.

La cocinera preguntó:

—¿Cuánto quieres por los tres huevos? —Nueve kopeks por cada uno.

—¿Qué dices? ¿Te has vuelto loca? —preguntó la cocinera.

—Como usted quiera —contestó—, pero a menor precio no los doy. Son los últimos que me quedan.

La cocinera se acercó a la otra vendedora, que tenía 2 huevos en la cesta.

—¿Cuánto cuestan?

—A 9 kopeks. Es el precio establecido. Ya se terminan. —¿Y tu huevo, cuánto vale? —preguntó la cocinera a la hermana menor.

—Lo mismo: 9 kopeks.

¡Qué hacer! No tuvo más remedio que comprarlos a este precio inaudito.

—Venga, compro todos los huevos que quedan.

La cocinera dio a la hermana mayor 27 kopeks por los tres huevos, que con los tres kopeks que tenía, sumaban treinta; a la segunda le entregó 18 kopeks por el par de huevos, que con los 12 que había cobrado antes constituían 30 kopeks. La pequeña recibió de la cocinera, por el único huevo que le quedaba, 9 kopeks que al juntarlos con los 21 que ya poseía, le resultaron también 30 kopeks.

Terminada la venta, las tres hijas regresaron a casa, y al entregar cada una 30 kopeks a su madre, le contaron cómo habían vendido los huevos, manteniendo todas un precio fijo y único y cómo se las habían arreglado para que la ganancia, correspondiente a una decena y a cincuenta huevos, resultara una misma cantidad y en total 90 kopeks.


…Y terminemos con una paradoja, la del Hotel Infinito.

La conozco hace tiempo; la leí en un libro de Martín Cohen; fue ideada por el matemático David Hilbert y la denominó con el nombre de El Gran Hotel, para explicar las paradojas sobre el infinito descritas por otro matemático, Georg Cantor. Siempre tuve reparos en traerla, pero al ver la cantidad de veces que se reproduce en libros de paradojas, incluso en toda la red, ni lo dudo. Se ha planteado de muchas maneras, pero la mejor, la que me hizo pensar más fue la manera de redactarla de Martin Cohen, la primera que leí. Ahí queda eso, podemos comentarla en el próximo número. Incluso podríamos plantearla de otra manera, ya digo que se ha escrito mucho sobre ella.

El hotel infinito

El hotel situado al final del universo es infinito. La Fundación Eleuterio Aplicadoes, propietaria del hotel, construye dos habitaciones nuevas por cada una que ocupa. Los clientes están encantados porque siempre que van al hotel tienen la seguridad de que no estará lleno.

A la vista de esto, el contable de Eleuterio, Jacinto, huele el negocio. Abandona su puesto en la empresa y construye otro «hotel infinito» con las mismas características exactamente que las del de su exjefe. Pero claro, tiene que ser mejor que el de Eleuterio, porque si no, nadie querría cambiar el hotel. Jacinto se aplica entonces a construir un hotel más grande.

Pero ¿cómo tener un número de habitaciones mayor que infinito?

«Hummm..... —piensa durante un minuto Jacinto—, la manera más fácil de hacerlo es dividiendo todas las habitaciones por la mitad, de modo que se obtengan dos medias habitaciones por cada habitación. Después de todo, son habitaciones enormes, propias de un hotel infinito. De esta forma, las personas de las habitaciones 1 y 2 serán trasladadas a las habitaciones 1—a y 2—a, y las habitaciones 1—b y 2—b quedarán libres para futuros clientes».

Jacinto está encantado y anuncia su hotel como si tuviera el doble de habitaciones que el hotel infinito de Eleuterio.

Al verlo, a Eleuterio se le atraganta el desayuno y grita:

—¡Le voy a empapelar! ¡Más habitaciones que infinito!

Y Eleuterio demanda a Jacinto ante el Tribunal de Defensa de la Competencia con el argumento de que ha utilizado publicidad engañosa, puesto que no se puede tener más que infinito de nada.

¿Quién tiene razón? ¿Qué ha de hacer el Tribunal de Defensa de la Competencia?

Saludos y hasta la próxima.


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Fuentes: Paradoja del Hotel infinito, de 101 problemas de Filosofía, Martin Cohen, Alianza Editorial, S.A., 2005.
Paradoja El Gran Hotel y biografías de Hilbert y Cantor: Wikipedia.





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